Cardinal vs Ordinal
În viața noastră de zi cu zi, utilizarea numerelor poate lua forme diferite în diferite situații. De exemplu, când numărăm pentru a ne da seama de dimensiunea unei colecții de obiecte, le numărăm ca unul, doi, trei și așa mai departe. Când vrem să numărăm ceva pentru a obține sensul poziției obiectelor, le numărăm ca primul, al doilea, al treilea și așa mai departe. În prima formă de numărare, se spune că numerele sunt numere cardinale. În a doua formă de numărare, numerele sunt considerate numere ordinale. În acest context, conceptele cardinal și ordinal sunt în întregime o chestiune de lingvistică; cardinal și ordinal sunt adjective.
Totuși, extinderea conceptului la mulțimi în matematică dezvăluie o perspectivă mult mai profundă și mai largă și nu poate fi tratată în termeni simpli. În acest articol, vom încerca să înțelegem conceptele fundamentale ale numerelor cardinale și ordinale în matematică.
Definițiile formale ale numerelor cardinale și ordinale sunt furnizate în teoria mulțimilor. Definițiile sunt complicate și pentru a le înțelege în sens perfect este nevoie de cunoștințe de bază în teoria mulțimilor. Prin urmare, ne vom întoarce către câteva exemple, pentru a înțelege conceptele din punct de vedere euristic.
Luați în considerare cele două seturi {1, 3, 6, 4, 5, 2} și {autobuz, mașină, feribot, tren, avion, elicopter}. Fiecare mulțime listează un set de elemente, iar dacă numărăm numărul de elemente este evident că fiecare are același număr de elemente, adică 6. Ajunși la această concluzie am luat dimensiunea unei mulțimi și am comparat cu alta folosind o număr. Un astfel de număr se numește număr cardinal. Prin urmare, putem spune că un număr cardinal este un număr pe care îl putem folosi pentru a compara mărimea mulțimilor finite.
Din nou primul set de numere poate fi aranjat în ordine crescătoare luând în considerare dimensiunea fiecărui element și comparându-le. În procesul de comandă, numerele sunt considerate cardinali. La fel, mulțimea tuturor numerelor întregi nenegative poate fi ordonată într-o mulțime; adică {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Dar în acest caz, dimensiunea mulțimii devine infinită, iar darea acesteia în termeni de ordinale nu este posibilă. Indiferent cât de mare este un număr pe care îl alegeți pentru a da dimensiunea setului, tot vor rămâne numere din setul pe care îl alegeți și care sunt numere întregi nenegative.
De aceea, matematicienii definesc acest cardinal infinit (care este primul) drept Aleph-0, scris ca א (prima literă din alfabetul ebraic). Formal, numărul ordinal este tipul de ordine al unui set bine ordonat. Prin urmare, numărul ordinal al mulțimilor finite poate fi dat de numere cardinale, dar pentru mulțimi infinite ordinal este dat de numere transfinite, cum ar fi Aleph-0.
Care este diferența dintre numerele cardinale și ordinale?
• Numărul cardinal este un număr care poate fi folosit pentru a număra sau pentru a da dimensiunea unui set finit ordonat. Toate numerele cardinale sunt ordinale.
• Numerele ordinale sunt numere folosite pentru a da dimensiunea atât a mulțimilor ordonate finite, cât și a celor infinite. Mărimea mulțimilor ordonate finite este dată de numere algebrice hindu-arabe obișnuite, iar mărimea mulțimii infinite este dată de numere transfinite.
