Diferențiere față de derivate
În calculul diferențial, derivata și diferențierea sunt strâns legate, dar foarte diferite și sunt folosite pentru a reprezenta două concepte matematice importante legate de funcții.
Ce este derivatul?
Derivată a unei funcții măsoară viteza cu care valoarea funcției se modifică pe măsură ce intrarea acesteia se modifică. În funcțiile cu mai multe variabile, modificarea valorii funcției depinde de direcția modificării valorilor variabilelor independente. Prin urmare, în astfel de cazuri, se alege o direcție specifică și funcția este diferențiată în acea direcție particulară. Această derivată se numește derivată direcțională. Derivatele parțiale sunt un tip special de derivate direcționale.
Derivata unei functii cu valori vectoriale f poate fi definita ca limita [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] oriunde există finit. După cum am menționat anterior, aceasta ne oferă rata de creștere a funcției f de-a lungul direcției vectorului u. În cazul unei funcții cu o singură valoare, aceasta se reduce la binecunoscuta definiție a derivatei, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
De exemplu, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] este diferențiabilă peste tot, iar derivata este egală cu limita, [latex]\\lim_{h \\la 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], care este egal cu [latex]3x^{2}+4[/latex]. Derivatele unor funcții precum [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] există peste tot. Ele sunt, respectiv, egale cu funcțiile [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Acesta este cunoscut ca prima derivată. De obicei, prima derivată a funcției f se notează cu f (1) Acum folosind această notație, este posibil să definim derivate de ordin superior. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\la 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] este derivata direcțională de ordinul doi și denotă n -a derivată cu f (n) pentru fiecare n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\la 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definește derivata n -a.
Ce este diferențierea?
Diferențierea este procesul de găsire a derivatei unei funcții diferențiabile. Operatorul D notat cu D reprezintă diferențierea în unele contexte. Dacă x este variabila independentă, atunci D ≡ d/dx. Operatorul D este un operator liniar, adică pentru oricare două funcții diferențiabile f și g și constanta c, urmând ca proprietățile să fie valabile.
I. D (f + g)=D (f) + D (g)
II. D (cf)=cD (f)
Folosind operatorul D, celel alte reguli asociate diferențierii pot fi exprimate după cum urmează. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2și D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
De exemplu, când F(x)=x 2sin x este diferențiată față de x folosind regulile date, răspunsul va fi 2 x sin x + x2cos x.
Care este diferența dintre diferențiere și derivată?• Derivatul se referă la rata de modificare a unei funcții • Diferențierea este procesul de găsire a derivatei unei funcții. |
