Variabile aleatoare vs distribuția probabilității
Experimentele statistice sunt experimente aleatorii care pot fi repetate pe termen nelimitat cu un set cunoscut de rezultate. Atât variabilele aleatoare, cât și distribuțiile de probabilitate sunt asociate cu astfel de experimente. Pentru fiecare variabilă aleatorie, există o distribuție de probabilitate asociată definită de o funcție numită funcție de distribuție cumulativă.
Ce este o variabilă aleatorie?
O variabilă aleatorie este o funcție care atribuie valori numerice rezultatelor unui experiment statistic. Cu alte cuvinte, este o funcție definită din spațiul eșantion al unui experiment statistic în mulțimea de numere reale.
De exemplu, luați în considerare un experiment aleatoriu de a arunca o monedă de două ori. Rezultatele posibile sunt HH, HT, TH și TT (H – capete, T – povești). Fie variabila X numărul de capete observate în experiment. Apoi, X poate lua valorile 0, 1 sau 2 și este o variabilă aleatoare. Aici, variabila aleatoare X va mapa mulțimea S={HH, HT, TH, TT} (spațiul eșantion) la mulțimea {0, 1, 2} în așa fel încât HH să fie mapat la 2, HT și TH sunt mapate la 1 și TT este mapat la 0. În notația funcției, aceasta poate fi scrisă ca, X: S → R unde X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 și X(TT)=0.
Există două tipuri de variabile aleatoare: discrete și continue, în consecință, numărul de valori posibile pe care o variabilă aleatoare le poate asuma este cel mult numărabil sau nu. În exemplul anterior, variabila aleatoare X este o variabilă aleatoare discretă deoarece {0, 1, 2} este o mulțime finită. Acum, luați în considerare experimentul statistic de găsire a greutăților elevilor dintr-o clasă. Fie Y variabila aleatoare definită ca ponderea unui elev. Y poate lua orice valoare reală într-un interval specific. Prin urmare, Y este o variabilă aleatoare continuă.
Ce este o distribuție de probabilitate?
Distribuția probabilității este o funcție care descrie probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia anumite valori.
O funcție numită funcție de distribuție cumulativă (F) poate fi definită din mulțimea numerelor reale în mulțimea numerelor reale ca F(x)=P(X ≤ x) (probabilitatea ca X să fie mai mică decât sau egal cu x) pentru fiecare rezultat posibil x. Acum funcția de distribuție cumulativă a lui X din primul exemplu poate fi scrisă ca F(a)=0, dacă a<0; F(a)=0,25, dacă 0≤a<1; F(a)=0,75, dacă 1≤a<2 și F(a)=1, dacă a≥2.
În cazul variabilelor aleatoare discrete, o funcție poate fi definită din mulțimea de rezultate posibile la mulțimea de numere reale în așa fel încât ƒ(x)=P(X=x) (probabilitatea lui X) fiind egal cu x) pentru fiecare rezultat posibil x. Această funcție particulară ƒ se numește funcție de masă de probabilitate a variabilei aleatoare X. Acum, funcția de masă de probabilitate a lui X din primul exemplu particular poate fi scrisă ca ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25 și ƒ(x)=0 în caz contrar. Astfel, funcția de masă a probabilității împreună cu funcția de distribuție cumulativă vor descrie distribuția de probabilitate a lui X în primul exemplu.
În cazul variabilelor aleatoare continue, o funcție numită funcție de densitate de probabilitate (ƒ) poate fi definită ca ƒ(x)=dF(x)/dx pentru fiecare x unde F este funcția de distribuție cumulată a variabilă aleatoare continuă. Este ușor de observat că această funcție satisface ∫ƒ(x)dx=1. Funcția de densitate a probabilității împreună cu funcția de distribuție cumulativă descrie distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. De exemplu, distribuția normală (care este o distribuție continuă de probabilitate) este descrisă folosind funcția de densitate de probabilitate ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
Care este diferența dintre variabile aleatoare și distribuția probabilității?
• Variabila aleatorie este o funcție care asociază valorile unui spațiu eșantion cu un număr real.
• Distribuția probabilității este o funcție care asociază valori pe care o variabilă aleatoare le poate lua probabilității respective de apariție.
