Distribuție binomială vs normală
Distribuțiile de probabilitate ale variabilelor aleatoare joacă un rol important în domeniul statisticii. Dintre aceste distribuții de probabilitate, distribuția binomială și distribuția normală sunt două dintre cele mai frecvente în viața reală.
Ce este distribuția binomială?
Distribuția binomială este distribuția de probabilitate corespunzătoare variabilei aleatoare X, care este numărul de succese ale unei secvențe finite de experimente independente da/nu, fiecare dintre ele având o probabilitate de succes p. Din definiția lui X, este evident că este o variabilă aleatoare discretă; prin urmare, distribuția binomială este și ea discretă.
Distribuția se notează X ~ B (n, p) unde n este numărul de experimente și p este probabilitatea de succes. Conform teoriei probabilităților, putem deduce că B (n, p) urmează funcția de masă a probabilității [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. Din această ecuație, se poate deduce în continuare că valoarea așteptată a lui X, E(X)=np și varianța lui X, V(X)=np (1- p).
De exemplu, luați în considerare un experiment aleatoriu de aruncare a unei monede de 3 ori. Definiți succesul ca obținerea H, eșecul ca obținerea T și variabila aleatoare X ca numărul de succese în experiment. Atunci X ~ B (3, 0,5) și funcția de masă de probabilitate a lui X dată de [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Prin urmare, probabilitatea de a obține cel puțin 2 H este P(X ≥ 2)=P (X=2 sau X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0,52)(0,51) + 3 C3(0,53)(0,50)=0,375 + 0,125=0,5.
Care este distribuția normală?
Distribuția normală este distribuția continuă de probabilitate definită de funcția de densitate a probabilității, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Parametrii [latex] \mu și \\sigma [/latex] denotă media și abaterea standard a populației de interes. Când [latex] \mu=0 și \\sigma=1 [/latex] distribuția se numește distribuție normală standard.
Această distribuție se numește normală, deoarece majoritatea fenomenelor naturale urmează distribuția normală. De exemplu, IQ-ul populației umane este distribuit în mod normal. După cum se vede din grafic, este unimodal, simetric față de medie și are formă de clopot. Media, modul și mediana coincid. Aria de sub curbă corespunde porțiunii din populație, care satisface o anumită condiție.
Porțiunile populației din intervalul [latex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] sunt aproximativ 68,2%, 95,6% și 99,8% respectiv.
Care este diferența dintre distribuțiile binomiale și normale?
- Distribuția binomială este o distribuție de probabilitate discretă, în timp ce distribuția normală este una continuă.
- Funcția de masă de probabilitate a distribuției binomiale este [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], în timp ce funcția de densitate de probabilitate a distribuției normale este [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- Distribuția binomială este aproximată cu distribuția normală în anumite condiții, dar nu invers.
