Funcția de distribuție a probabilității vs funcția de densitate a probabilității
Probabilitatea este probabilitatea ca un eveniment să se întâmple. Această idee este foarte comună și folosită frecvent în viața de zi cu zi atunci când ne evaluăm oportunitățile, tranzacțiile și multe alte lucruri. Extinderea acestui concept simplu la un set mai mare de evenimente este puțin mai dificilă. De exemplu, nu ne putem da seama cu ușurință de șansele de a câștiga la loterie, dar este convenabil, mai degrabă intuitiv, să spunem că există o probabilitate ca unul din șase să obținem numărul șase într-un zar aruncat.
Când numărul de evenimente care pot avea loc devine din ce în ce mai mare sau numărul de posibilități individuale este mare, această idee destul de simplă a probabilității eșuează. Prin urmare, trebuie să i se ofere o definiție matematică solidă înainte de a aborda probleme cu o complexitate mai mare.
Când numărul de evenimente care pot avea loc într-o singură situație este mare, este imposibil să luăm în considerare fiecare eveniment individual ca în exemplul zarurilor aruncate. Prin urmare, întregul set de evenimente este rezumat prin introducerea conceptului de variabilă aleatorie. Este o variabilă, care poate prelua valorile diferitelor evenimente în acea situație particulară (sau spațiul eșantion). Oferă un sens matematic evenimentelor simple din situație și un mod matematic de a aborda evenimentul. Mai precis, o variabilă aleatorie este o funcție de valoare reală peste elementele spațiului eșantion. Variabilele aleatoare pot fi fie discrete, fie continue. Ele sunt de obicei notate cu literele mari ale alfabetului englez.
Funcția de distribuție a probabilității (sau pur și simplu, distribuția probabilității) este o funcție care atribuie valorile probabilității pentru fiecare eveniment; adică oferă o relație cu probabilitățile pentru valorile pe care le poate lua variabila aleatoare. Funcția de distribuție a probabilității este definită pentru variabile aleatoare discrete.
Funcția de densitate a probabilității este echivalentul funcției de distribuție a probabilității pentru variabilele aleatoare continue, dă probabilitatea ca o anumită variabilă aleatoare să-și asume o anumită valoare.
Dacă X este o variabilă aleatoare discretă, funcția dată ca f (x)=P (X=x) pentru fiecare x din intervalul lui X se numește funcție de distribuție a probabilității. O funcție poate servi ca funcție de distribuție a probabilității dacă și numai dacă funcția îndeplinește următoarele condiții.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
O funcție f (x) care este definită peste mulțimea numerelor reale se numește funcție de densitate de probabilitate a variabilei aleatoare continue X, dacă și numai dacă, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx pentru orice constante reale a și b.
Funcția de densitate a probabilității ar trebui să îndeplinească și următoarele condiții.
1. f (x) ≥ 0 pentru toate x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Atât funcția de distribuție a probabilității, cât și funcția de densitate a probabilității sunt utilizate pentru a reprezenta distribuția probabilităților în spațiul eșantion. De obicei, acestea se numesc distribuții de probabilitate.
Pentru modelarea statistică, sunt derivate funcții standard de densitate a probabilității și funcții de distribuție a probabilității. Distribuția normală și distribuția normală standard sunt exemple de distribuții de probabilitate continue. Distribuția binomială și distribuția Poisson sunt exemple de distribuții de probabilitate discrete.
Care este diferența dintre distribuția probabilității și funcția de densitate a probabilității?
• Funcția de distribuție a probabilității și funcția de densitate a probabilității sunt funcții definite în spațiul eșantion, pentru a atribui valoarea probabilității relevante fiecărui element.
• Funcțiile de distribuție a probabilității sunt definite pentru variabilele aleatoare discrete, în timp ce funcțiile de densitate a probabilității sunt definite pentru variabilele aleatoare continue.
• Distribuția valorilor de probabilitate (adică distribuțiile de probabilitate) este cel mai bine prezentată prin funcția de densitate a probabilității și funcția de distribuție a probabilității.
• Funcția de distribuție a probabilității poate fi reprezentată ca valori într-un tabel, dar acest lucru nu este posibil pentru funcția de densitate a probabilității deoarece variabila este continuă.
• Când este reprezentată grafic, funcția de distribuție a probabilității oferă o diagramă cu bare, în timp ce funcția de densitate a probabilității dă o curbă.
• Înălțimea/lungimea barelor funcției de distribuție a probabilității trebuie să adauge la 1, în timp ce aria de sub curba funcției de densitate a probabilității trebuie să adauge la 1.
• În ambele cazuri, toate valorile funcției trebuie să fie nenegative.
