Funcție discretă versus funcție continuă
Funcțiile sunt una dintre cele mai importante clase de obiecte matematice, care sunt utilizate pe scară largă în aproape toate subdomeniile matematicii. După cum sugerează numele lor, atât funcțiile discrete, cât și funcțiile continue sunt două tipuri speciale de funcții.
O funcție este o relație între două mulțimi definite în așa fel încât pentru fiecare element din primul set, valoarea care îi corespunde în al doilea set este unică. Fie f o funcție definită din mulțimea A în mulțimea B. Apoi, pentru fiecare x ϵ A, simbolul f (x) denotă valoarea unică din mulțimea B care corespunde lui x. Se numește imaginea lui x sub f. Prin urmare, o relație f din A în B este o funcție, dacă și numai dacă pentru, fiecare xϵ A și y ϵ A; dacă x=y atunci f (x)=f (y). Mulțimea A se numește domeniul funcției f și este mulțimea în care este definită funcția.
De exemplu, luați în considerare relația f din R în R definită de f (x)=x + 2 pentru fiecare xϵ A. Aceasta este o funcție al cărei domeniu este R, deoarece pentru fiecare număr real x și y, x=y implică f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Dar relația g din N în N definită de g (x)=a, unde „a” este un factor prim al lui x nu este o funcție ca g (6)=3, precum și g (6)=2.
Ce este o funcție discretă?
O funcție discretă este o funcție al cărei domeniu este cel mult numărabil. Pur și simplu, asta înseamnă că este posibil să faci o listă care să includă toate elementele domeniului.
Orice set finit este cel mult numărabil. Mulțimea numerelor naturale și mulțimea numerelor raționale sunt exemple pentru cel mult mulțimi infinite numărabile. Mulțimea numerelor reale și mulțimea numerelor iraționale nu sunt cel mult numărabile. Ambele seturi sunt de nenumărat. Înseamnă că este imposibil să faci o listă care să includă toate elementele acestor seturi.
Una dintre cele mai comune funcții discrete este funcția factorială. f:N U{0}→N definit recursiv prin f (n)=n f (n-1) pentru fiecare n ≥ 1 și f (0)=1 se numește funcție factorială. Observați că domeniul său N U{0} este cel mult numărabil.
Ce este o funcție continuă?
Fie f o funcție astfel încât pentru fiecare k din domeniul lui f, f (x)→ f (k) ca x → k. Atunci f este o funcție continuă. Aceasta înseamnă că este posibil să se facă f (x) în mod arbitrar aproape de f (k) făcând x suficient de aproape de k pentru fiecare k din domeniul lui f.
Se consideră funcția f (x)=x + 2 pe R. Se poate observa că ca x → k, x + 2 → k + 2 adică f (x)→ f (k). Prin urmare, f este o funcție continuă. Acum, luați în considerare g pe numere reale pozitive g (x)=1 dacă x > 0 și g (x)=0 dacă x=0. Atunci, această funcție nu este o funcție continuă, deoarece limita lui g (x) nu există (și, prin urmare, nu este egală cu g (0)) ca x → 0.
Care este diferența dintre funcția discretă și cea continuă?
• O funcție discretă este o funcție al cărei domeniu este cel mult numărabil, dar nu trebuie să fie cazul în funcțiile continue.
• Toate funcțiile continue ƒ au proprietatea că ƒ(x)→ƒ(k) ca x → k pentru fiecare x și pentru fiecare k din domeniul lui ƒ, dar nu este cazul în unele funcții discrete.
