Exclusive reciproc vs evenimente independente
Oamenii confundă adesea conceptul de evenimente care se exclud reciproc cu evenimente independente. De fapt, acestea sunt două lucruri diferite.
Fie A și B oricare două evenimente asociate cu un experiment aleator E. P(A) se numește „Probabilitatea lui A”. În mod similar, putem defini probabilitatea lui B ca P(B), probabilitatea lui A sau B ca P(A∪B) și probabilitatea lui A și B ca P(A∩B). Apoi, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Totuși, două evenimente despre care se spune că se exclud reciproc dacă apariția unui eveniment nu îl afectează pe celăl alt. Cu alte cuvinte, ele nu pot apărea simultan. Prin urmare, dacă două evenimente A și B se exclud reciproc, atunci A∩B=∅ și, prin urmare, aceasta implică P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Fie A și B două evenimente dintr-un spațiu eșantion S. Probabilitatea condiționată a lui A, dat fiind că B a avut loc, se notează cu P(A | B) și este definită ca; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), cu condiția P(B)>0. (în caz contrar, nu este definit.)
Se spune că un eveniment A este independent de un eveniment B, dacă probabilitatea ca A să apară nu este influențată de faptul că B a avut loc sau nu. Cu alte cuvinte, rezultatul evenimentului B nu are niciun efect asupra rezultatului evenimentului A. Prin urmare, P(A | B)=P(A). În mod similar, B este independent de A dacă P(B)=P(B | A). Prin urmare, putem concluziona că dacă A și B sunt evenimente independente, atunci P(A∩B)=P(A). P(B)
Să presupunem că un cub numerotat este rulat și o monedă corectă este răsturnată. Fie A evenimentul în care obținerea unui cap și B evenimentul în care obținerea unui număr par. Apoi putem concluziona că evenimentele A și B sunt independente, deoarece rezultatul unuia nu afectează rezultatul celuil alt. Prin urmare, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Deoarece P(A∩B)≠0, A și B nu se pot exclude reciproc.
Să presupunem că o urnă conține 7 bile albe și 8 bile negre. Definiți evenimentul A ca desenarea unei bille albe și evenimentul B ca desenarea unei bille negre. Presupunând că fiecare marmură va fi înlocuită după notarea culorii sale, atunci P(A) și P(B) vor fi întotdeauna aceleași, indiferent de câte ori extragem din urnă. Înlocuirea bilelor înseamnă că probabilitățile nu se schimbă de la extragere la extragere, indiferent de culoarea pe care am ales-o la ultima extragere. Prin urmare, evenimentele A și B sunt independente.
Totuși, dacă bilele au fost desenate fără înlocuire, atunci totul se schimbă. În această ipoteză, evenimentele A și B nu sunt independente. Desenarea unei bille albe prima dată schimbă probabilitățile de a trage o bilanță neagră la a doua extragere și așa mai departe. Cu alte cuvinte, fiecare extragere are un efect asupra extragerii următoare, astfel încât extragerile individuale nu sunt independente.
Diferența dintre evenimentele care se exclud reciproc și cele independente
– Exclusivitatea reciprocă a evenimentelor înseamnă că nu există o suprapunere între seturile A și B. Independența evenimentelor înseamnă că întâmplarea lui A nu afectează întâmplarea lui B.
– Dacă două evenimente A și B se exclud reciproc, atunci P(A∩B)=0.
– Dacă două evenimente A și B sunt independente, atunci P(A∩B)=P(A). P(B)
