Diferența dintre integrala Riemann și integrala Lebesgue

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-17 13:48

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrarea este un subiect principal în calcul. Într-un sens mai larg, integrarea poate fi văzută ca procesul invers de diferențiere. Atunci când modelați probleme din lumea reală, este ușor să scrieți expresii care implică derivate. Într-o astfel de situație, operația de integrare este necesară pentru a găsi funcția care a dat derivata particulară.

Din alt unghi, integrarea este un proces, care însumează produsul unei funcții ƒ(x) și δx, unde δx tinde să fie o anumită limită. De aceea, folosim simbolul de integrare ca ∫. Simbolul ∫ este, de fapt, ceea ce obținem prin întinderea litera s pentru a se referi la sumă.

Riemann Integral

Considerați o funcție y=ƒ(x). Integrala lui y dintre a și b, unde a și b aparțin unei mulțimi x, se scrie ca _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Aceasta se numește integrală definită a funcției cu valoare unică și continuă y=ƒ(x) între a și b. Aceasta dă aria de sub curba dintre a și b. Aceasta se mai numește și integrală Riemann. Integrala Riemann a fost creată de Bernhard Riemann. Integrala Riemann a unei funcții continue se bazează pe măsura Jordan, prin urmare, este definită și ca limita sumelor Riemann ale funcției. Pentru o funcție cu valoare reală definită pe un interval închis, integrala Riemann a funcției în raport cu o partiție x₁, x₂, …, x n _{definit în intervalul [a, b] și t}1_{, t}2_{, …, t n}, unde x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 pentru fiecare i ε {1, 2, …, n}, suma Riemann este definită ca Σ_{i=o la n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue este un alt tip de integrală, care acoperă o mare varietate de cazuri decât o face integrala Riemann. Integrala Lebesgue a fost introdusă de Henri Lebesgue în 1902. Integrarea Legesgue poate fi considerată ca o generalizare a integrării Riemann.

De ce trebuie să studiem o altă integrală?

Să luăm în considerare funcția caracteristică ƒ_{A (x)=}{_{0 dacă, x nu ε A}^{1 dacă, x ε A} pe o mulțime A. Atunci combinație liniară finită de funcții caracteristice, care este definită ca F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) se numește funcție simplă dacă E} i _{este măsurabilă pentru fiecare i. Integrala Lebesgue a lui F (x) peste E se notează cu} E_{∫ ƒ(x)dx. Funcția F (x) nu este integrabilă Riemann. Prin urmare, integrala Lebesgue este reformulată integrală Riemann, care are unele restricții cu privire la funcțiile care trebuie integrate.}

Care este diferența dintre Riemann Integral și Lebesgue Integral?

· Integrala Lebesgue este o formă de generalizare a integralei Riemann.

· Integrala Lebesgue permite o infinitate numărătoare de discontinuități, în timp ce integrala Riemann permite un număr finit de discontinuități.