Serii aritmetice vs geometrice
Definiția matematică a unei serii este strâns legată de secvențe. O secvență este o mulțime ordonată de numere și poate fi o mulțime finită sau infinită. O succesiune de numere cu diferența dintre două elemente fiind o constantă este cunoscută sub numele de progresie aritmetică. O succesiune cu un coeficient constant de două numere succesive este cunoscută ca progresie geometrică. Aceste progresii pot fi fie finite, fie infinite, iar dacă sunt finite, numărul de termeni este numărabil, altfel nenumărabil.
În general, suma elementelor dintr-o progresie poate fi definită ca o serie. Suma unei progresii aritmetice este cunoscută sub numele de serie aritmetică. De asemenea, suma unei progresii geometrice este cunoscută ca o serie geometrică.
Mai multe despre seria aritmetică
Într-o serie aritmetică, termenii succesivi au o diferență constantă.
Sn =a1 + a2 + a3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; unde a2 =a1 + d, a3 =a2 + d și așa mai departe.
Această diferență d este cunoscută ca diferența comună, iar termenul n-lea este dat de an =a 1+ (n-1)d; unde a1 este primul termen.
Comportamentul seriei se modifică în funcție de diferența comună d. Dacă diferența comună este pozitivă, progresia tinde să fie infinită pozitivă, iar dacă diferența comună este negativă, aceasta tinde către infinitul negativ.
Suma seriei poate fi obținută prin următoarea formulă simplă, care a fost dezvoltată pentru prima dată de astronomul și matematicianul indian Aryabhata.
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
Suma Sn poate fi fie finită, fie infinită, în funcție de numărul de termeni.
Mai multe despre seria geometrică
O serie geometrică este o serie cu câtul numerelor succesive constant. Este o serie importantă găsită în studiul seriei, datorită proprietăților pe care le posedă.
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ari
Pe baza raportului r, comportamentul seriei poate fi clasificat după cum urmează. r={|r|≥1 serie diverge; r≤1 seria converge}. De asemenea, dacă r<0 seria oscilează, adică seria are valori alternative.
Suma seriei geometrice poate fi calculată folosind următoarea formulă. Sn =a(1-r) / (1-r); unde a este termenul inițial și r este raportul. Dacă raportul r≤1, seria converge. Pentru o serie infinită, valoarea convergenței este dată de Sn=a / (1-r).
Seria geometrică are numeroase aplicații în domeniile științelor fizice, ingineriei și economiei
Care este diferența dintre seriile aritmetice și geometrice?
• O serie aritmetică este o serie cu o diferență constantă între doi termeni adiacenți.
• O serie geometrică este o serie cu un coeficient constant între doi termeni succesivi.
• Toate seriile aritmetice infinite sunt întotdeauna divergente, dar, în funcție de raport, seria geometrică poate fi fie convergentă, fie divergentă.
• Seria geometrică poate avea oscilații în valori; adică numerele își schimbă semnele alternativ, dar seria aritmetică nu poate avea oscilații.
