Ecuație liniară vs ecuație cuadratică
În matematică, ecuațiile algebrice sunt ecuații care sunt formate folosind polinoame. Când sunt scrise explicit, ecuațiile vor avea forma P(x)=0, unde x este un vector de n variabile necunoscute și P este un polinom. De exemplu, P(x, y)=x4 + y3 + x2y + 5=0 este o ecuație algebrică a două variabile scrise explicit. De asemenea, (x+y)3=3x2y – 3zy4 este o ecuație algebrică, dar în formă implicită. Acesta va lua forma Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy2 +3zy4=0, odată scris explicit.
O caracteristică importantă a unei ecuații algebrice este gradul acesteia. Este definită ca fiind cea mai mare putere a termenilor care apar în ecuație. Dacă un termen este format din două sau mai multe variabile, suma exponenților fiecărei variabile va fi considerată puterea termenului. Observați că conform acestei definiții P(x, y)=0 este de gradul 4 în timp ce Q(x, y, z)=0 este de gradul 5.
Ecuațiile liniare și ecuațiile pătratice sunt două tipuri diferite de ecuații algebrice. Gradul ecuației este factorul care le diferențiază de restul ecuațiilor algebrice.
Ce este o ecuație liniară?
O ecuație liniară este o ecuație algebrică de gradul 1. De exemplu, 4x + 5=0 este o ecuație liniară a unei variabile. x + y + 5z=0 și 4x=3w + 5y + 7z sunt ecuații liniare a 3 și, respectiv, 4 variabile. În general, o ecuație liniară a n variabile va lua forma m1x1+m 2x2+…+ mn-1x n-1+ mnxn =b. Aici, xi sunt variabilele necunoscute, mi și b sunt numere reale în care fiecare dintre mi este diferit de zero.
O astfel de ecuație reprezintă un hiperplan în spațiul euclidian n-dimensional. În special, o ecuație liniară cu două variabile reprezintă o linie dreaptă în plan cartezian și o ecuație liniară cu trei variabile reprezintă un plan pe 3-spațiul euclidian.
Ce este o ecuație pătratică?
O ecuație pătratică este o ecuație algebrică de gradul doi. x2 + 3x + 2=0 este o singură ecuație pătratică variabilă. x2 + y2 + 3x=4 și 4x2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 sunt exemple de ecuații patratice a 2 și, respectiv, 3 variabile.
În cazul unei singure variabile, forma generală a unei ecuații pătratice este ax2 + bx + c=0. Unde a, b, c sunt numere reale din care „a” este diferit de zero. Discriminantul ∆=(b2 – 4ac) determină natura rădăcinilor ecuației pătratice. Rădăcinile ecuației vor fi reale distincte, reale similare și complexe, în funcție de faptul că ∆ este pozitiv, zero și negativ. Rădăcinile ecuației pot fi găsite cu ușurință folosind formula x=(- b ± √∆) / 2a.
În cazul celor două variabile, forma generală ar fi ax2 + de2 + cxy + dx + ex + f=0, iar aceasta reprezintă o conică (parabolă, hiperbolă sau elipsă) în plan cartezian. În dimensiuni mai mari, acest tip de ecuații reprezintă hiper-suprafețe cunoscute sub numele de cvadrici.
Care este diferența dintre ecuațiile liniare și cele pătratice?
• O ecuație liniară este o ecuație algebrică de gradul 1, în timp ce o ecuație pătratică este o ecuație algebrică de gradul 2.
• În spațiul euclidian n-dimensional, spațiul de soluție al unei ecuații liniare cu n variabile este un hiperplan, în timp ce cel al unei ecuații pătratice cu n variabile este o suprafață cvadrică.
