Ecuație liniară vs ecuație neliniară
În matematică, ecuațiile algebrice sunt ecuații, care se formează folosind polinoame. Când sunt scrise explicit, ecuațiile vor avea forma P(x)=0, unde x este un vector de n variabile necunoscute și P este un polinom. De exemplu, P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 este o ecuație algebrică în două variabile scrise explicit. De asemenea, (x+y)3 =3x2y – 3zy4 este o ecuație algebrică, dar în formă implicită și va lua forma Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, odată scris în mod explicit.
O caracteristică importantă a unei ecuații algebrice este gradul acesteia. Este definită ca fiind cea mai mare putere a termenilor care apar în ecuație. Dacă un termen este format din două sau mai multe variabile, suma exponenților fiecărei variabile va fi considerată puterea termenului. Observați că conform acestei definiții P(x, y)=0 este de gradul 5, în timp ce Q(x, y, z)=0 este de gradul 5.
Ecuațiile liniare și ecuațiile neliniare sunt o partiție cu două definite pe setul de ecuații algebrice. Gradul ecuației este factorul care le diferențiază unul de celăl alt.
Ce este o ecuație liniară?
O ecuație liniară este o ecuație algebrică de gradul 1. De exemplu, 4x + 5=0 este o ecuație liniară a unei variabile. x + y + 5z=0 și 4x=3w + 5y + 7z sunt ecuații liniare a 3 și, respectiv, 4 variabile. În general, o ecuație liniară de n variabile va lua forma m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Aici, xi sunt variabilele necunoscute, mi și b sunt numere reale în care fiecare dintre mi este diferit de zero.
O astfel de ecuație reprezintă un hiperplan în spațiul euclidian n-dimensional. În special, o ecuație liniară cu două variabile reprezintă o linie dreaptă în plan cartezian și o ecuație liniară cu trei variabile reprezintă un plan pe 3-spațiul euclidian.
Ce este o ecuație neliniară?
O ecuație pătratică este o ecuație algebrică, care nu este liniară. Cu alte cuvinte, o ecuație neliniară este o ecuație algebrică de gradul 2 sau mai mare. x2 + 3x + 2=0 este o ecuație neliniară cu o singură variabilă. x2 + y3+ 3xy=4 și 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 sunt exemple de ecuații neliniare a 3 și, respectiv, 4 variabile.
O ecuație neliniară de gradul doi se numește ecuație pătratică. Dacă gradul este 3, atunci se numește ecuație cubică. Ecuațiile de gradul 4 și de gradul 5 se numesc ecuații cuartice și, respectiv, chintice. S-a dovedit că nu există o metodă analitică pentru a rezolva vreo ecuație neliniară de gradul 5, iar acest lucru este valabil și pentru orice grad superior. Ecuațiile neliniare rezolvabile reprezintă hiper suprafețe care nu sunt hiperplane.
Care este diferența dintre ecuația liniară și ecuația neliniară?
• O ecuație liniară este o ecuație algebrică de gradul 1, dar o ecuație neliniară este o ecuație algebrică de gradul 2 sau mai mare.
• Chiar dacă orice ecuație liniară este rezolvabilă analitic, nu este cazul în ecuațiile neliniare.
• În spațiul euclidian n-dimensional, spațiul de soluție al unei ecuații liniare cu n variabile este un hiperplan, în timp ce cel al unei ecuații neliniare cu n variabile este o hiper suprafață, care nu este un hiperplan. (Cadric, suprafețe cubice și etc.)
