Derivată vs diferențială
În calculul diferențial, derivata și diferențiala unei funcții sunt strâns legate, dar au semnificații foarte diferite și sunt folosite pentru a reprezenta două obiecte matematice importante legate de funcțiile diferențiabile.
Ce este derivatul?
Derivată a unei funcții măsoară viteza cu care valoarea funcției se modifică pe măsură ce intrarea acesteia se modifică. În funcțiile cu mai multe variabile, modificarea valorii funcției depinde de direcția modificării valorilor variabilelor independente. Prin urmare, în astfel de cazuri, se alege o direcție specifică și funcția este diferențiată în acea direcție particulară. Această derivată se numește derivată direcțională. Derivatele parțiale sunt un tip special de derivate direcționale.
Derivata unei functii cu valori vectoriale f poate fi definita ca limita [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] oriunde există finit. După cum am menționat anterior, aceasta ne oferă rata de creștere a funcției f de-a lungul direcției vectorului u. În cazul unei funcții cu o singură valoare, aceasta se reduce la binecunoscuta definiție a derivatei, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
De exemplu, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] este diferențiabilă peste tot, iar derivata este egală cu limita, [latex]\\lim_{h \\la 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], care este egal cu [latex]3x^{2}+4[/latex]. Derivatele unor funcții precum [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] există peste tot. Ele sunt, respectiv, egale cu funcțiile [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Acesta este cunoscut ca prima derivată. De obicei, prima derivată a funcției f se notează cu f (1) Acum folosind această notație, este posibil să definim derivate de ordin superior. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\la 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] este derivata direcțională de ordinul doi și denotă n -a derivată cu f (n) pentru fiecare n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\la 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definește derivata n -a.
Ce este diferența?
Diferenţialul unei funcţii reprezintă modificarea funcţiei în raport cu modificările variabilei sau variabilelor independente. În notația uzuală, pentru o funcție dată f a unei singure variabile x, diferența totală de ordinul 1 df este dată de, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Aceasta înseamnă că pentru o modificare infinitezimală în x (adică d x), va exista o schimbare f (1)(x)d x schimbare în f.
Folosind limite, se poate ajunge la această definiție după cum urmează. Să presupunem că ∆ x este modificarea lui x într-un punct arbitrar x și ∆ f este modificarea corespunzătoare a funcției f. Se poate demonstra că ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, unde ϵ este eroarea. Acum, limita ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (folosind definiția de derivată menționată anterior) și astfel, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Prin urmare, este posibil să trageți concluzia că, ∆ x→ 0 ϵ=0. Acum, notând ∆ x→ 0 ∆ f ca d f și ∆ x→ 0 ∆ x ca d x, se obține riguros definiția diferenţialului.
De exemplu, diferența funcției [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] este [latex](3x^{2}+4)dx[/latex].
În cazul funcțiilor a două sau mai multe variabile, diferența totală a unei funcții este definită ca suma diferențialelor în direcțiile fiecăreia dintre variabilele independente. Matematic, poate fi afirmat ca [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Care este diferența dintre derivat și diferențial?
• Derivată se referă la o rată de modificare a unei funcții, în timp ce diferența se referă la schimbarea reală a funcției, atunci când variabila independentă este supusă modificării.
• Derivata este dată de [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], dar diferența este dată de [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
