Derivată vs Integrală
Diferentierea si integrarea sunt doua operatii fundamentale in calcul. Au numeroase aplicații în mai multe domenii, cum ar fi matematică, inginerie și fizică. Atât derivatele cât și integralele discută despre comportamentul unei funcții sau al unei entități fizice care ne interesează.
Ce este derivatul?
Să presupunem că y=ƒ(x) și x0 este în domeniul lui ƒ. Apoi limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx se numește rata de schimbare instantanee a ƒ la x0, cu condiția ca această limită să existe finit. Această limită se mai numește și derivată a lui at și se notează cu ƒ(x).
Valoarea derivatei unei funcții f într-un punct arbitrar x din domeniul funcției este dată de limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Acest lucru este notat prin oricare dintre următoarele expresii: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Pentru funcțiile cu mai multe variabile, definim derivată parțială. Derivata parțială a unei funcții cu mai multe variabile este derivata acesteia față de una dintre acele variabile, presupunând că celel alte variabile sunt constante. Simbolul derivatei parțiale este ∂.
Geometric derivata unei funcții poate fi interpretată ca panta curbei funcției ƒ(x).
Ce este Integral?
Integrarea sau anti-diferențierea este procesul invers de diferențiere. Cu alte cuvinte, este procesul de găsire a unei funcții originale atunci când este dată derivata funcției. Prin urmare, o integrală sau o anti-derivată a unei funcții ƒ(x) dacă ƒ(x)=F (x) poate fi definită ca funcția F (x), pentru tot x din domeniul lui ƒ(x).
Expresia ∫ƒ(x) dx denotă derivata funcției ƒ(x). Dacă ƒ(x)=F (x), atunci ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, unde C este o constantă, ∫ƒ(x) dx se numește integrală nedefinită a lui ƒ(x).
Pentru orice funcție ƒ, care nu este neapărat nenegativă și definită în intervalul [a, b], a∫b ƒ(x) dx se numește integrală definită ƒ pe [a, b].
Integrala definită a∫bƒ(x) dx a unei funcții ƒ(x) poate fi interpretată geometric ca aria regiune delimitată de curba ƒ(x), axa x și liniile x=a și x=b.
Care este diferența dintre derivată și integrală?
• Derivata este rezultatul diferențierii procesului, în timp ce integrala este rezultatul integrării procesului.
• Derivata unei functii reprezinta panta curbei in orice punct dat, in timp ce integrala reprezinta aria de sub curba.
