Paralelogram vs Trapez
Paralelogramul și trapezul (sau trapezul) sunt două patrulatere convexe. Chiar dacă acestea sunt patrulatere, geometria trapezului diferă semnificativ de paralelograme.
Paralelogram
Paralelogramul poate fi definit ca o figură geometrică cu patru laturi, cu laturile opuse paralele între ele. Mai exact este un patrulater cu două perechi de laturi paralele. Această natură paralelă dă multe caracteristici geometrice paralelogramelor.
Un patrulater este un paralelogram dacă se găsesc următoarele caracteristici geometrice.
• Două perechi de laturi opuse au lungime egală. (AB=DC, AD=BC)
• Două perechi de unghiuri opuse au dimensiuni egale. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Dacă unghiurile adiacente sunt suplimentare [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• O pereche de laturi, care sunt opuse una cu ceal altă, este paralelă și egală ca lungime. (AB=DC și AB∥DC)
• Diagonalele se traversează (AO=OC, BO=OD)
• Fiecare diagonală împarte patrulaterul în două triunghiuri congruente. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
În plus, suma pătratelor laturilor este egală cu suma pătratelor diagonalelor. Aceasta este uneori denumită legea paralelogramului și are aplicații pe scară largă în fizică și inginerie. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Fiecare dintre caracteristicile de mai sus poate fi folosită ca proprietăți, odată ce s-a stabilit că patrulaterul este un paralelogram.
Aria paralelogramului poate fi calculată prin produsul dintre lungimea unei laturi și înălțimea față de latura opusă. Prin urmare, aria paralelogramului poate fi exprimată ca
Aria paralelogramului=baza × înălțime=AB×h
Aria paralelogramului este independentă de forma paralelogramului individual. Depinde doar de lungimea bazei și de înălțimea perpendiculară.
Dacă laturile unui paralelogram pot fi reprezentate prin doi vectori, aria poate fi obținută prin mărimea produsului vectorial (produsul încrucișat) al celor doi vectori adiacenți.
Dacă laturile AB și AD sunt reprezentate de vectorii ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) și respectiv ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), aria paralelogramul este dat de [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], unde α este unghiul dintre [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] și [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
În continuare sunt câteva proprietăți avansate ale paralelogramului;
• Aria unui paralelogram este de două ori mai mare decât aria unui triunghi creat de oricare dintre diagonalele sale.
• Aria paralelogramului este împărțită la jumătate de orice dreaptă care trece prin punctul de mijloc.
• Orice transformare afină nedegenerată duce un paralelogram la alt paralelogram
• Un paralelogram are simetrie de rotație de ordinul 2
• Suma distanțelor de la orice punct interior al unui paralelogram la laturi este independentă de locația punctului
Trapez
Trapezoid (sau Trapezium în engleza britanică) este un patrulater convex în care cel puțin două laturi sunt paralele și inegale în lungime. Laturile paralele ale trapezului sunt cunoscute sub numele de baze, iar celel alte două laturi sunt numite picioare.
Următoarele sunt principalele caracteristici ale trapezelor;
• Dacă unghiurile adiacente nu sunt pe aceeași bază a trapezului, acestea sunt unghiuri suplimentare. adică se adună până la 180° ([latex]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/latex])
• Ambele diagonale ale unui trapez se intersectează în același raport (raportul dintre secțiunile diagonalelor este egal).
• Dacă a și b sunt baze și c, d sunt catete, lungimile diagonalelor sunt date de
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latex]
și
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
Aria trapezului poate fi calculată folosind următoarea formulă
Zona trapezului=[latex]\frac{a+b}{2}\times h[/latex]
Care este diferența dintre Paralelogram și Trapez (Trapez)?
• Atât paralelogramul, cât și trapezul sunt patrulatere convexe.
• Într-un paralelogram, ambele perechi de laturi opuse sunt paralele, în timp ce, într-un trapez, doar o pereche este paralelă.
• Diagonalele paralelogramului se bisectează între ele (raport 1:1), în timp ce diagonalele trapezului se intersectează cu un raport constant între secțiuni.
• Aria paralelogramului depinde de înălțime și de bază, în timp ce aria trapezului depinde de înălțime și de segmentul mijlociu.
• Cele două triunghiuri formate dintr-o diagonală într-un paralelogram sunt întotdeauna congruente, în timp ce triunghiurile trapezului pot fi fie congruente, fie nu.
