Paralelogram vs patrulater
Cadrilatere și paralelograme sunt poligoane găsite în Geometria Euclidiană. Paralelogramul este un caz special al patrulaterului. Cadrilaterele pot fi fie plane (2D), fie tridimensionale, în timp ce paralelogramele sunt întotdeauna plane.
Cadrilateral
Cadrilaterul este un poligon cu patru laturi. Are patru vârfuri, iar suma unghiurilor interne este 3600 (2π rad). Patrulaterele sunt clasificate în categorii cu auto-intersectare și patrulatere simple. Patrulaterele care se intersectează automat au două sau mai multe laturi care se încrucișează, iar figuri geometrice mai mici (cum ar fi triunghiurile sunt formate în interiorul patrulaterului).
Patralaterele simple sunt, de asemenea, împărțite în patrulatere convexe și concave. Patralaterele concave au laturile adiacente formând unghiuri reflexe în interiorul figurii. Patrulaterele simple care nu au unghiuri reflexe în interior sunt patrulatere convexe. Patrulaterele convexe pot avea întotdeauna teselații.
O parte majoră a geometriei patrulaterelor la nivelurile inițiale se referă la patrulaterele convexe. Unele patrulatere ne sunt foarte familiare din vremea școlilor primare. Mai jos este o diagramă care arată diferite patrulatere convexe.
Paralelogram
Paralelogramul poate fi definit ca o figură geometrică cu patru laturi, cu laturile opuse paralele între ele. Mai exact este un patrulater cu două perechi de laturi paralele. Această natură paralelă dă multe caracteristici geometrice paralelogramelor.
Un patrulater este un paralelogram dacă se găsesc următoarele caracteristici geometrice.
• Două perechi de laturi opuse au lungime egală. (AB=DC, AD=BC)
• Două perechi de unghiuri opuse au dimensiuni egale. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Dacă unghiurile adiacente sunt suplimentare [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• O pereche de laturi, care sunt opuse una cu ceal altă, este paralelă și egală ca lungime. (AB=DC și AB∥DC)
• Diagonalele se traversează (AO=OC, BO=OD)
• Fiecare diagonală împarte patrulaterul în două triunghiuri congruente. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
În plus, suma pătratelor laturilor este egală cu suma pătratelor diagonalelor. Aceasta este uneori denumită legea paralelogramului și are aplicații pe scară largă în fizică și inginerie. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Fiecare dintre caracteristicile de mai sus poate fi folosită ca proprietăți, odată ce s-a stabilit că patrulaterul este un paralelogram.
Aria paralelogramului poate fi calculată prin produsul dintre lungimea unei laturi și înălțimea față de latura opusă. Prin urmare, aria paralelogramului poate fi exprimată ca
Aria paralelogramului=baza × înălțime=AB×h
Aria paralelogramului este independentă de forma paralelogramului individual. Depinde doar de lungimea bazei și de înălțimea perpendiculară.
Dacă laturile unui paralelogram pot fi reprezentate prin doi vectori, aria poate fi obținută prin mărimea produsului vectorial (produsul încrucișat) al celor doi vectori adiacenți.
Dacă laturile AB și AD sunt reprezentate de vectorii ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) și respectiv ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), aria paralelogramul este dat de [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], unde α este unghiul dintre [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] și [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
În continuare sunt câteva proprietăți avansate ale paralelogramului;
• Aria unui paralelogram este de două ori mai mare decât aria unui triunghi creat de oricare dintre diagonalele sale.
• Aria paralelogramului este împărțită la jumătate de orice dreaptă care trece prin punctul de mijloc.
• Orice transformare afină nedegenerată duce un paralelogram la alt paralelogram
• Un paralelogram are simetrie de rotație de ordinul 2
• Suma distanțelor de la orice punct interior al unui paralelogram la laturi este independentă de locația punctului
Care este diferența dintre paralelogram și patrulater?
• Cadrilaterele sunt poligoane cu patru laturi (uneori numite tetragoane), în timp ce paralelogramul este un tip special de patrulater.
• Cadrilaterele își pot avea laturile în planuri diferite (în spațiul 3d), în timp ce toate laturile paralelogramului se află pe același plan (planar/ 2dimensional).
• Unghiurile interioare ale patrulaterului pot lua orice valoare (inclusiv unghiurile reflexe), astfel încât să adauge până la 3600. Paralelogramele pot avea doar unghiuri obtuze ca tip maxim de unghi.
• Patru laturi ale patrulaterului pot avea lungimi diferite, în timp ce laturile opuse ale paralelogramului sunt întotdeauna paralele între ele și de lungime egală.
• Orice diagonală împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente, în timp ce triunghiurile formate din diagonala unui patrulater general nu sunt neapărat congruente.
