Paralelogram vs dreptunghi
Paralelogramul și dreptunghiul sunt patrulatere. Geometria acestor figuri era cunoscută omului de mii de ani. Subiectul este tratat în mod explicit în cartea „Elemente” scrisă de matematicianul grec Euclid.
Paralelogram
Paralelogramul poate fi definit ca o figură geometrică cu patru laturi, cu laturile opuse paralele între ele. Mai exact este un patrulater cu două perechi de laturi paralele. Această natură paralelă dă multe caracteristici geometrice paralelogramelor.
Un patrulater este un paralelogram dacă se găsesc următoarele caracteristici geometrice.
• Două perechi de laturi opuse au lungime egală. (AB=DC, AD=BC)
• Două perechi de unghiuri opuse au dimensiuni egale. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Dacă unghiurile adiacente sunt suplimentare [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• O pereche de laturi, care sunt opuse una cu ceal altă, este paralelă și egală ca lungime. (AB=DC și AB∥DC)
• Diagonalele se traversează (AO=OC, BO=OD)
• Fiecare diagonală împarte patrulaterul în două triunghiuri congruente. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
În plus, suma pătratelor laturilor este egală cu suma pătratelor diagonalelor. Aceasta este uneori denumită legea paralelogramului și are aplicații pe scară largă în fizică și inginerie. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Fiecare dintre caracteristicile de mai sus poate fi folosită ca proprietăți, odată ce s-a stabilit că patrulaterul este un paralelogram.
Aria paralelogramului poate fi calculată prin produsul dintre lungimea unei laturi și înălțimea față de latura opusă. Prin urmare, aria paralelogramului poate fi exprimată ca
Aria paralelogramului=baza × înălțime=AB×h
Aria paralelogramului este independentă de forma paralelogramului individual. Depinde doar de lungimea bazei și de înălțimea perpendiculară.
Dacă laturile unui paralelogram pot fi reprezentate prin doi vectori, aria poate fi obținută prin mărimea produsului vectorial (produsul încrucișat) al celor doi vectori adiacenți.
Dacă laturile AB și AD sunt reprezentate de vectorii ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) și respectiv ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), aria paralelogramul este dat de [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], unde α este unghiul dintre [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] și [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
În continuare sunt câteva proprietăți avansate ale paralelogramului;
• Aria unui paralelogram este de două ori mai mare decât aria unui triunghi creat de oricare dintre diagonalele sale.
• Aria paralelogramului este împărțită la jumătate de orice dreaptă care trece prin punctul de mijloc.
• Orice transformare afină nedegenerată duce un paralelogram la alt paralelogram
• Un paralelogram are simetrie de rotație de ordinul 2
• Suma distanțelor de la orice punct interior al unui paralelogram la laturi este independentă de locația punctului
Dreptunghi
Un patrulater cu patru unghiuri drepte este cunoscut sub numele de dreptunghi. Este un caz special al paralelogramului în care unghiurile dintre oricare două laturi adiacente sunt unghiuri drepte.
Pe lângă toate proprietățile unui paralelogram, pot fi recunoscute caracteristici suplimentare atunci când luăm în considerare geometria dreptunghiului.
• Fiecare unghi de la vârfuri este un unghi drept.
• Diagonalele sunt egale ca lungime și se intersectează. Prin urmare, secțiunile în două secții au, de asemenea, lungime egală.
• Lungimea diagonalelor poate fi calculată folosind teorema lui Pitagora:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Formula suprafeței se reduce la produsul dintre lungime și lățime.
Zona dreptunghiului=lungime × lățime
• Multe proprietăți simetrice se găsesc pe un dreptunghi, cum ar fi;
– Un dreptunghi este ciclic, unde toate vârfurile pot fi plasate pe perimetrul unui cerc.
– Este echiunghiular, unde toate unghiurile sunt egale.
– Este izogonală, unde toate colțurile se află în aceeași orbită de simetrie.
– Are atât simetrie de reflexie, cât și simetrie de rotație.
Care este diferența dintre paralelogram și dreptunghi?
• Paralelogramul și dreptunghiul sunt patrulatere. Dreptunghiul este un caz special al paralelogramelor.
• Suprafața oricăror poate fi calculată folosind formula de bază ×înălțime.
• Luând în considerare diagonalele;
– Diagonalele paralelogramului se bisectează una pe ceal altă și se bisectează paralelogramul pentru a forma două triunghiuri congruente.
– Diagonalele dreptunghiului sunt egale ca lungime și se bisectează; secțiunile bisectate au lungime egală. Diagonalele traversează dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice congruente.
• Luând în considerare unghiurile interne;
– Unghiurile interne opuse ale paralelogramului sunt egale ca mărime. Două unghiuri interne adiacente sunt suplimentare
– Toate cele patru unghiuri interne ale dreptunghiului sunt unghiuri drepte.
• Luând în considerare părțile laterale;
– Într-un paralelogram, suma pătratelor laturilor este egală cu suma pătratelor diagonalei (legea paralelogramului)
– În dreptunghiuri, suma pătratelor celor două laturi adiacente este egală cu pătratul diagonalei de la capete. (Regula lui Pitagora)
