Ecuații diferențiale liniare vs neliniare
O ecuație care conține cel puțin un coeficient diferențial sau o derivată a unei variabile necunoscute este cunoscută ca ecuație diferențială. O ecuație diferențială poate fi liniară sau neliniară. Scopul acestui articol este de a explica ce este ecuația diferențială liniară, ce este ecuația diferențială neliniară și care este diferența dintre ecuațiile diferențiale liniare și neliniare.
De la dezvoltarea calculului în secolul al XVIII-lea de către matematicieni precum Newton și Leibnitz, ecuația diferențială a jucat un rol important în povestea matematicii. Ecuațiile diferențiale sunt de mare importanță în matematică datorită gamei lor de aplicații. Ecuațiile diferențiale sunt în centrul fiecărui model pe care îl dezvoltăm pentru a explica orice scenariu sau eveniment din lume, indiferent dacă este în fizică, inginerie, chimie, statistică, analiză financiară sau biologie (lista este nesfârșită). De fapt, până când calculul a devenit o teorie consacrată, instrumentele matematice adecvate nu au fost disponibile pentru a analiza problemele interesante din natură.
Ecuațiile rezultate dintr-o aplicație specifică a calculului pot fi foarte complexe și uneori nu pot fi rezolvate. Cu toate acestea, există unele pe care le putem rezolva, dar pot arăta asemănătoare și confuze. Prin urmare, pentru o identificare mai ușoară, ecuațiile diferențiale sunt clasificate în funcție de comportamentul lor matematic. Linear și neliniar este una dintre aceste categorii. Este important să identificați diferența dintre ecuațiile diferențiale liniare și neliniare.
Ce este o ecuație diferențială liniară?
Să presupunem că f: X→Y și f(x)=y, o ecuație diferențială fără termeni neliniari ai funcției necunoscute y și derivatele acesteia este cunoscută ca o ecuație diferențială liniară.
Impune condiția ca y să nu aibă termeni de index mai mari, cum ar fi y2, y3, … și multipli de derivate precum ca
De asemenea, nu poate conține termeni neliniari, cum ar fi Sin y, e y ^-2 sau ln y. Ia forma
unde y și g sunt funcții ale lui x. Ecuația este o ecuație diferențială de ordinul n, care este indicele derivatei de ordinul cel mai în alt.
Într-o ecuație diferențială liniară, operatorul diferențial este un operator liniar, iar soluțiile formează un spațiu vectorial. Ca rezultat al naturii liniare a mulțimii de soluții, o combinație liniară a soluțiilor este, de asemenea, o soluție a ecuației diferențiale. Adică, dacă y1 și y2 sunt soluții ale ecuației diferențiale, atunci C1 y 1+ C2 y2 este, de asemenea, o soluție.
Liniaritatea ecuației este doar un parametru al clasificării și poate fi clasificată în continuare în ecuații omogene sau neomogene și ecuații diferențiale ordinare sau parțiale. Dacă funcția este g=0, atunci ecuația este o ecuație diferențială liniară omogenă. Dacă f este o funcție a două sau mai multe variabile independente (f: X, T→Y) și f(x, t)=y, atunci ecuația este o ecuație diferențială parțială liniară.
Metoda de soluție pentru ecuația diferențială depinde de tipul și de coeficienții ecuației diferențiale. Cel mai simplu caz apare atunci când coeficienții sunt constanți. Un exemplu clasic pentru acest caz este cea de-a doua lege a mișcării a lui Newton și diferitele sale aplicații. A doua lege a lui Newton produce o ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Ce este o ecuație diferențială neliniară?
Ecuațiile care conțin termeni neliniari sunt cunoscute ca ecuații diferențiale neliniare.
Toate cele de mai sus sunt ecuații diferențiale neliniare. Ecuațiile diferențiale neliniare sunt dificil de rezolvat, prin urmare, este necesar un studiu atent pentru a obține o soluție corectă. În cazul ecuațiilor cu diferențe parțiale, majoritatea ecuațiilor nu au o soluție generală. Prin urmare, fiecare ecuație trebuie tratată independent.
Ecuația Navier-Stokes și ecuația lui Euler în dinamica fluidelor, ecuațiile de câmp ale relativității generale ale lui Einstein sunt bine cunoscute ecuații diferențiale parțiale neliniare. Uneori, aplicarea ecuației Lagrange la un sistem variabil poate avea ca rezultat un sistem de ecuații diferențiale parțiale neliniare.
Care este diferența dintre ecuațiile diferențiale liniare și neliniare?
• O ecuație diferențială, care are doar termenii liniari ai variabilei necunoscute sau dependente și derivatele acesteia, este cunoscută ca o ecuație diferențială liniară. Nu are niciun termen cu variabila dependentă a indicelui mai mare de 1 și nu conține niciun multiplu al derivatelor sale. Nu poate avea funcții neliniare, cum ar fi funcții trigonometrice, funcții exponențiale și funcții logaritmice în raport cu variabila dependentă. Orice ecuație diferențială care conține termenii menționați mai sus este o ecuație diferențială neliniară.
• Soluțiile ecuațiilor diferențiale liniare creează spațiu vectorial, iar operatorul diferențial este, de asemenea, un operator liniar în spațiul vectorial.
• Soluțiile ecuațiilor diferențiale liniare sunt relativ mai ușoare și există soluții generale. Pentru ecuațiile neliniare, în majoritatea cazurilor, soluția generală nu există și soluția poate fi specifică problemei. Acest lucru face soluția mult mai dificilă decât ecuațiile liniare.
