Ecuația diferențelor vs ecuația diferențială
Un fenomen natural poate fi descris matematic prin funcțiile unui număr de variabile și parametri independenți. Mai ales când sunt exprimate printr-o funcție de poziție spațială și timp, rezultă ecuații. Funcția se poate modifica odată cu modificarea variabilelor independente sau a parametrilor. O modificare infinitezimală care are loc în funcție atunci când una dintre variabilele acesteia este modificată se numește derivată a acelei funcție.
O ecuație diferențială este orice ecuație care conține derivate ale unei funcții, precum și funcția în sine. O ecuație diferențială simplă este cea a celei de-a doua legi a mișcării a lui Newton. Dacă un obiect de masă m se mișcă cu accelerația „a” și este acționat cu forța F, atunci a doua lege a lui Newton ne spune că F=ma. Din nou, „a” variază în timp, putem rescrie „a” ca; a=dv/dt; v este viteza. Viteza este functie de spatiu si timp, adica v=ds/dt; prin urmare, „a”=d2s/dt2
Ținând cont de acestea, putem rescrie a doua lege a lui Newton ca o ecuație diferențială;
‘F’ în funcție de v și t – F(v, t)=mdv/dt sau
„F” în funcție de s și t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Există două tipuri de ecuații diferențiale; ecuație diferențială obișnuită, prescurtată prin ODE sau ecuație diferențială parțială, prescurtată prin PDE. Ecuația diferențială obișnuită va avea derivate obișnuite (derivate ale unei singure variabile) în ea. Ecuația cu diferență parțială va avea derivate diferențiale (derivate a mai multor variabile) în ea.
de ex. F=m d2s/dt2 este o ODE, în timp ce α2 d 2u/dx2=du/dt este un PDE, are derivate ale lui t și x.
Ecuația diferențelor este aceeași cu ecuația diferențială, dar o privim în context diferit. În ecuațiile diferențiale, variabila independentă, cum ar fi timpul, este considerată în contextul sistemului de timp continuu. În sistemul de timp discret, numim funcția ca ecuație de diferență.
Ecuația diferențelor este o funcție a diferențelor. Diferențele dintre variabilele independente sunt de trei tipuri; secvență de numere, sistem dinamic discret și funcție repetată.
În secvența de numere, modificarea este generată recursiv folosind o regulă pentru a lega fiecare număr din secvență cu numerele anterioare din secvență.
Ecuația diferențelor într-un sistem dinamic discret preia un semnal de intrare discret și produce semnal de ieșire.
Ecuația de diferență este o hartă repetată pentru funcția repetată. De exemplu, y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….este secvența unei funcții iterate. F(y0) este prima iterare a lui y0 A k-a iterație va fi notat cu fk (y0).
