Transpunere vs Transpunere conjugată
Transpunerea unei matrice A poate fi identificată ca matricea obținută prin rearanjarea coloanelor ca rânduri sau a rândurilor ca coloane. Ca urmare, indicii fiecărui element sunt interschimbați. Mai formal, transpunerea unei matrice A, este definită ca
unde
Într-o matrice transpusă, diagonala rămâne neschimbată. Dar toate celel alte elemente sunt rotite în jurul diagonalei. De asemenea, dimensiunea matricelor se modifică de la m×n la n×m.
Transpunerea are unele proprietăți importante și permit manipularea mai ușoară a matricelor. De asemenea, unele matrici de transpunere importante sunt definite pe baza caracteristicilor lor. Dacă matricea este egală cu transpunerea ei, atunci matricea este simetrică. Dacă matricea este egală cu negativul său al transpunerii, atunci matricea este o simetrică oblică.
Transpunerea conjugată a unei matrice este transpunerea matricei cu elementele înlocuite cu conjugatul său complex. Adică, conjugatul complex (A) este definit ca transpunerea conjugatului complex al matricei A.
A=(Ā)T; În detaliu,
unde
și āji ε C.
Este cunoscut și ca transpunerea hermitiană și conjugatul hermitian. Dacă transpunerea conjugată este egală cu matricea însăși, matricea este cunoscută ca matrice hermitiană. Dacă transpunerea conjugată este egală cu negativul matricei, este o matrice hermitiană oblică. Și dacă inversul matricei este egal cu conjugatul complex, matricea este unitară.
La fel, toate conjugatele complexe de matrici speciale au, de asemenea, proprietăți speciale care pot fi folosite pentru a le manipula matematic cu ușurință. Transpunerea conjugată este utilizată pe scară largă în mecanica cuantică și în domeniile sale relevante.
Care este diferența dintre transpunerea și transpunerea conjugată?
• Transpunerea unei matrice se obține prin rearanjarea coloanelor în rânduri sau a rândurilor în coloane. Conjugatul complex al unei matrice se obține prin înlocuirea fiecărui element cu conjugatul său complex (adică x+iy ⇛ x-iy sau invers). Transpunerea conjugată se obține prin efectuarea ambelor operații pe matrice.
• Prin urmare, transpunerea conjugată este doar o matrice transpusă cu conjugatele sale complexe ca elemente.
