Asociativ vs comutativ
În viața noastră de zi cu zi, trebuie să folosim numere ori de câte ori trebuie să obținem o măsură a ceva. La magazinul alimentar, la benzinărie și chiar și în bucătărie, trebuie să adunăm, să scădem și să înmulțim două sau mai multe cantități. Din practica noastră, efectuăm aceste calcule destul de fără efort. Nu observăm și nu ne întrebăm niciodată de ce facem aceste operațiuni în acest mod special. Sau de ce aceste calcule nu pot fi făcute într-un mod diferit. Răspunsul este ascuns în modul în care aceste operații sunt definite în domeniul matematic al algebrei.
În algebră, o operație care implică două mărimi (cum ar fi adăugarea) este definită ca o operație binară. Mai exact este o operație între două elemente dintr-o mulțime și aceste elemente se numesc „operand”. Multe operații din matematică, inclusiv operațiile aritmetice menționate mai devreme și cele întâlnite în teoria mulțimilor, algebra liniară și logica matematică pot fi definite ca operații binare.
Există un set de reguli care guvernează o anumită operație binară. Proprietățile asociative și comutative sunt două proprietăți fundamentale ale operațiilor binare.
Mai multe despre proprietatea comutativă
Să presupunem că se efectuează o operație binară, notată cu simbolul ⊗, asupra elementelor A și B. Dacă ordinea operanzilor nu afectează rezultatul operației, atunci se spune că operația este comutativă. adică dacă A ⊗ B=B ⊗ A atunci operația este comutativă.
Operațiile aritmetice de adunare și înmulțire sunt comutative. Ordinea numerelor adunate sau înmulțite nu afectează răspunsul final:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Dar în cazul împărțirii schimbarea de ordine dă reciproca celuil alt, iar în scădere schimbarea dă negativul celuil alt. Prin urmare, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 și 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 și 5 ÷ 4=1,25 [în acest caz A, B ≠ 1 și 0]
De fapt, se spune că scăderea este anticomutativă; unde A – B=– (B – A).
De asemenea, conjuncțiile logice, conjuncția, disjuncția, implicația și echivalența sunt de asemenea comutative. Funcțiile de adevăr sunt, de asemenea, comutative. Operațiile de mulțime uniunea și intersecția sunt comutative. Adunarea și produsul scalar al vectorilor sunt, de asemenea, comutative.
Dar scăderea vectorială și produsul vectorial nu sunt comutative (produsul vectorial al doi vectori este anticomutativ). Adunarea matricei este comutativă, dar înmulțirea și scăderea nu sunt comutative.(Multiplicarea a două matrice poate fi comutativă în cazuri speciale, cum ar fi înmulțirea unei matrice cu inversul său sau cu matricea de identitate; dar cu siguranță matricele nu sunt comutative dacă matricele nu sunt de aceeași dimensiune)
Mai multe despre proprietatea asociativă
Se spune că o operație binară este asociativă dacă ordinea execuției nu afectează rezultatul când sunt prezente două sau mai multe apariții ale operatorului. Se consideră elementele A, B și C și operația binară ⊗. Operația ⊗ se spune a fi asociativă dacă
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Din funcțiile aritmetice de bază, numai adunarea și înmulțirea sunt asociative.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Scăderea și împărțirea nu sunt asociative;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 și (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 și (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Conjunctivele logice disjuncția, conjuncția și echivalența sunt asociative, la fel ca și operațiile de mulțime uniunea și intersecția. Adunarea matricei și a vectorului sunt asociative. Produsul scalar al vectorilor este asociativ, dar produsul vectorial nu este. Înmulțirea cu matrice este asociativă numai în circumstanțe speciale.
Care este diferența dintre proprietatea comutativă și cea asociativă?
• Atât proprietatea asociativă, cât și proprietatea comutativă sunt proprietăți speciale ale operațiilor binare, iar unele le satisfac, iar altele nu.
• Aceste proprietăți pot fi observate în multe forme de operații algebrice și alte operații binare din matematică, cum ar fi intersecția și uniunea în teoria mulțimilor sau conectivele logice.
• Diferența dintre comutativ și asociativ este că proprietatea comutativă afirmă că ordinea elementelor nu modifică rezultatul final, în timp ce proprietatea asociativă afirmă că ordinea în care este efectuată operația nu afectează răspunsul final..
