Ortogonal vs Ortonormal
În matematică, cele două cuvinte ortogonal și ortonormal sunt frecvent utilizate împreună cu un set de vectori. Aici, termenul „vector” este folosit în sensul că este un element al unui spațiu vectorial – o structură algebrică folosită în algebra liniară. Pentru discuția noastră, vom lua în considerare un spațiu de produs interior – un spațiu vectorial V împreună cu un produs interior definit pe V.
De exemplu, pentru un produs interior, spațiul este setul tuturor vectorilor de poziție tridimensionali împreună cu produsul punctual obișnuit.
Ce este ortogonal?
O submulțime nevid S a unui spațiu produs interior V se spune a fi ortogonală, dacă și numai dacă pentru fiecare u, v distinct în S, [u, v]=0; adică produsul interior al lui u și v este egal cu scalarul zero din spațiul produsului interior.
De exemplu, în mulțimea tuturor vectorilor de poziție tridimensionale, acest lucru este echivalent cu a spune că, pentru fiecare pereche distinctă de vectori de poziție p și q din S, p și q sunt perpendiculari unul pe celăl alt. (Rețineți că produsul interior din acest spațiu vectorial este produsul scalar. De asemenea, produsul scalar al doi vectori este egal cu 0 dacă și numai dacă cei doi vectori sunt perpendiculari unul pe celăl alt.)
Se consideră mulțimea S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, care este o submulțime a vectorilor de poziție tridimensionali. Observați că (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0)., 5)=0. Prin urmare, mulțimea S este ortogonală. În special, se spune că doi vectori sunt ortogonali dacă produsul lor interior este 0. Prin urmare, fiecare pereche de vectori din Sis este ortogonală.
Ce este ortonormal?
O submulțime nevid S a unui spațiu produs interior V se spune a fi ortonormală dacă și numai dacă S este ortogonal și pentru fiecare vector u din S, [u, u]=1. Prin urmare, se poate observa că fiecare set ortonormal este ortogonal, dar nu invers.
De exemplu, în mulțimea tuturor vectorilor de poziție tridimensionali, acest lucru este echivalent cu a spune că, pentru fiecare pereche distinctă de vectori de poziție p și q din S, p și q sunt perpendiculari unul pe celăl alt, iar pentru fiecare p în S, |p|=1. Acest lucru se datorează faptului că condiția [p, p]=1 se reduce la p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, care este echivalent cu |p |=1. Prin urmare, având în vedere o mulțime ortogonală, putem forma întotdeauna o mulțime ortonormală corespunzătoare împărțind fiecare vector la mărimea sa.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} este o submulțime ortonormală a mulțimii tuturor vectorilor de poziție tridimensionali. Este ușor de observat că s-a obținut împărțind fiecare dintre vectorii din mulțimea S, la mărimile lor.
Care este diferența dintre ortogonal și ortonormal?
- O submulțime nevid S a unui spațiu produs interior V se spune a fi ortogonală, dacă și numai dacă pentru fiecare u, v distinct în S, [u, v]=0. Cu toate acestea, este ortonormal, dacă și numai dacă o condiție suplimentară – pentru fiecare vector u din S, [u, u]=1 este îndeplinită.
- Orice set ortonormal este ortogonal, dar nu invers.
- Orice set ortogonal corespunde unui set ortonormal unic, dar un set ortonormal poate corespunde multor seturi ortogonale.
