Diferența dintre integrare și însumare

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-17 13:48

Integrare vs însumare

În matematica de mai sus de liceu, integrarea și însumarea se găsesc adesea în operațiile matematice. Se pare că sunt folosiți ca instrumente diferite și în situații diferite, dar au o relație foarte strânsă.

Mai multe despre sumare

Sumarea este operația de adunare a unei secvențe de numere și operația este deseori notată cu litera greacă a majusculei sigma Σ. Este folosit pentru a prescurta suma și egală cu suma/totalul secvenței. Ele sunt adesea folosite pentru a reprezenta seria, care în esență sunt secvențe infinite rezumate. Ele pot fi folosite și pentru a indica suma vectorilor, matricelor sau polinoamelor.

Sumarea se face de obicei pentru o serie de valori care pot fi reprezentate printr-un termen general, cum ar fi o serie care are un termen comun. Punctul de început și punctul final al însumării sunt cunoscute drept limita inferioară și, respectiv, limita superioară a însumării.

De exemplu, suma secvenței a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n este a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n care poate fi reprezentat cu ușurință folosind notația de însumare ca ∑ _i=1 a_{i; i se numește indicele de însumare.}

Multe variații sunt utilizate pentru însumarea în funcție de aplicație. În unele cazuri, limita superioară și limita inferioară pot fi date ca un interval sau un interval, cum ar fi ∑_1≤i≤100 a_i și ∑_{i∈[1, 100]} a_i Sau poate fi dat ca un set de numere precum ∑_i∈P a_{i, unde P este un set definit.}

În unele cazuri, se pot folosi două sau mai multe semne sigma, dar pot fi generalizate după cum urmează; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

De asemenea, însumarea urmează multe reguli algebrice. Deoarece operația încorporată este adunarea, multe dintre regulile comune ale algebrei pot fi aplicate sumelor în sine și pentru termenii individuali reprezentați de însumare.

Mai multe despre integrare

Integrarea este definită ca procesul invers de diferențiere. Dar, în vederea sa geometrică, poate fi considerată și ca aria închisă de curba funcției și a axei. Prin urmare, calculul ariei dă valoarea unei integrale definite, așa cum se arată în diagramă.

Sursa imagine:

Valoarea integralei definite este de fapt suma benzilor mici din interiorul curbei și a axei. Aria fiecărei benzi este înălțimea×lățimea în punctul de pe axa considerată. Lățimea este o valoare pe care o putem alege, să spunem ∆x. Și înălțimea este aproximativ valoarea funcției în punctul considerat, să spunem f (x_{i). Din diagramă, este evident că, cu cât benzile sunt mai mici, benzile se potrivesc mai bine în interiorul zonei delimitate, prin urmare o mai bună aproximare a valorii.}

Deci, în general, integrala definită I, între punctele a și b (adică în intervalul [a, b] unde a<b), poate fi dată ca I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, unde n este numărul de benzi (n=(b-a)/∆x). Această însumare a zonei poate fi reprezentată cu ușurință folosind notația de însumare ca I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Deoarece aproximarea este mai bună când ∆x este mai mic, putem calcula valoarea când ∆x→0. Prin urmare, este rezonabil să spunem I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Ca o generalizare a conceptului de mai sus, putem alege ∆x pe baza intervalului considerat indexat cu i (alegând lățimea zonei în funcție de poziție). Apoi obținem

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Aceasta este cunoscută ca Integrala Reimann a funcției f (x) în intervalul [a, b]. În acest caz, a și b sunt cunoscute ca limita superioară și limita inferioară a integralei. Integrala Reimann este o formă de bază a tuturor metodelor de integrare.

În esență, integrarea este însumarea zonei atunci când lățimea dreptunghiului este infinitezimală.

Care este diferența dintre integrare și însumare?

• Însumarea este însumarea unei secvențe de numere. De obicei, suma este dată în această formă ∑_i=1 a_{i atunci când termenii din secvență au un model și pot fi exprimate folosind un termen general.}

• Integrarea este practic aria delimitată de curba funcției, axa și limitele superioare și inferioare. Această zonă poate fi dată ca suma suprafețelor mult mai mici incluse în zona delimitată.

• Însumarea implică valorile discrete cu limitele superioare și inferioare, în timp ce integrarea implică valori continue.

• Integrarea poate fi interpretată ca o formă specială de însumare.

• În metodele de calcul numeric, integrarea este întotdeauna efectuată ca o însumare.