Diferența dintre secvența aritmetică și secvența geometrică

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-17 23:44

Secvență aritmetică vs secvență geometrică

Studiul tiparelor numerelor și al comportamentului lor este un studiu important în domeniul matematicii. Adesea, aceste tipare pot fi văzute în natură și ne ajută să le explicăm comportamentul din punct de vedere științific. Secvențele aritmetice și secvențele geometrice sunt două dintre modelele de bază care apar în numere și adesea întâlnite în fenomenele naturale.

Secvența este un set de numere ordonate. Numărul de elemente din succesiune poate fi fie finit, fie infinit.

Mai multe despre secvența aritmetică (progresie aritmetică)

O secvență aritmetică este definită ca o secvență de numere cu o diferență constantă între fiecare termen consecutiv. Este cunoscută și ca progresie aritmetică.

Secune aritmetică ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; unde a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d și așa mai departe.}

Dacă termenul inițial este a₁ și diferența comună este d, atunci termenul n^{-lea al secvenței este dat de;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Dind rezultatul de mai sus, termenul n^{-al-lea poate fi dat și ca;}

a_n =a_m + (n-m)d, unde a_{m este un termen aleatoriu în secvența astfel încât n > m.}

Setul de numere pare și setul de numere impare sunt cele mai simple exemple de secvențe aritmetice, în care fiecare secvență are o diferență comună (d) de 2.

Numărul de termeni dintr-o secvență poate fi infinit sau finit. În cazul infinit (n → ∞), succesiunea tinde spre infinit în funcție de diferența comună (a_{n → ±∞). Dacă diferența comună este pozitivă (d > 0), secvența tinde spre infinit pozitiv și, dacă diferența comună este negativă (d < 0), ea tinde către infinit negativ. Dacă termenii sunt finiți, succesiunea este, de asemenea, finită.}

Suma termenilor din succesiunea aritmetică este cunoscută ca seria aritmetică: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{și S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] oferă valoarea seria (S}n)

Mai multe despre secvența geometrică (progresie geometrică)

O secvență geometrică este definită ca o secvență în care câtul dintre doi termeni consecutivi este o constantă. Aceasta este cunoscută și ca progresie geometrică.

Secvență geometrică ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; unde a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r și așa mai departe, unde r este un număr real.}

Este mai ușor de reprezentat succesiunea geometrică folosind raportul comun (r) și termenul inițial (a). De aici și secvența geometrică ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Forma generală a n^th termeni dat de a_n =a₁r ^n-1. (Pierderea indicelui termenului inițial ⇒ a_n =ar^n-1)

Secvența geometrică poate fi, de asemenea, finită sau infinită. Dacă numărul de termeni este finit, se spune că șirul este finit. Și dacă termenii sunt infiniti, șirul poate fi fie infinit, fie finit, în funcție de raportul r. Raportul comun afectează multe dintre proprietățile secvențelor geometrice.

r > o	0 < r < +1	Secvența converge – dezintegrare exponențială, adică an → 0, n → ∞
	r=1	Secvență constantă, adică an=constantă
	r > 1	Secvența diverge – creștere exponențială, adică an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Secvența este oscilantă, dar converge
	r=1	Secvența este alternativă și constantă, adică an=±constant
	r < -1	Secvența este alternativă și diverge. adică an → ±∞, n → ∞
r=0	Secvența este un șir de zerouri

N. B: în toate cazurile de mai sus, a₁ > 0; dacă a₁ < 0, semnele legate de a_{n vor fi inversate.}

Intervalul de timp dintre săriturile unei mingi urmează o secvență geometrică în modelul ideal și este o secvență convergentă.

Suma termenilor șirului geometric este cunoscută ca o serie geometrică; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Suma seriei geometrice poate fi calculată folosind următoarea formulă.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); unde a este termenul inițial și r este raportul.}

Dacă raportul, r ≤ 1, seria converge. Pentru o serie infinită, valoarea convergenței este dată de S_n=a/(1-r)

Care este diferența dintre secvența/progresia aritmetică și geometrică?

• Într-o succesiune aritmetică, oricare doi termeni consecutivi au o diferență comună (d), în timp ce, în secvența geometrică, oricare doi termeni consecutivi au un coeficient constant (r).

• Într-o succesiune aritmetică, variația termenilor este liniară, adică se poate trasa o linie dreaptă care trece prin toate punctele. Într-o serie geometrică, variația este exponențială; fie în creștere, fie în descompunere, pe baza raportului comun.

• Toate secvențele aritmetice infinite sunt divergente, în timp ce serii geometrice infinite pot fi fie divergente, fie convergente.

• Seria geometrică poate prezenta oscilații dacă raportul r este negativ, în timp ce seria aritmetică nu afișează oscilația