Seria Fourier vs Transformarea Fourier
Seria Fourier descompune o funcție periodică într-o sumă de sinusuri și cosinusuri cu frecvențe și amplitudini diferite. Seria Fourier este o ramură a analizei Fourier și a fost introdusă de Joseph Fourier. Transformarea Fourier este o operație matematică care rup un semnal în frecvențele sale constitutive. Semnalul original care s-a schimbat în timp se numește reprezentarea în domeniul timpului a semnalului. Transformarea Fourier se numește reprezentarea în domeniul frecvenței a unui semnal, deoarece depinde de frecvență. Atât reprezentarea în domeniul frecvenței a unui semnal, cât și procesul utilizat pentru a transforma acel semnal în domeniul frecvenței sunt denumite transformată Fourier.
Ce este seria Fourier?
Așa cum am menționat mai devreme, seria Fourier este o expansiune a unei funcții periodice folosind o sumă infinită de sinusuri și cosinusuri. Seria Fourier a fost dezvoltată inițial la rezolvarea ecuațiilor de căldură, dar ulterior s-a descoperit că aceeași tehnică poate fi folosită pentru a rezolva un set mare de probleme matematice, în special problemele care implică ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți. Acum, seria Fourier are aplicații într-un număr mare de domenii, inclusiv inginerie electrică, analiza vibrațiilor, acustică, optică, procesare a semnalului, procesare a imaginilor, mecanică cuantică și econometrie. Seriile Fourier folosesc relațiile de ortogonalitate ale funcțiilor sinus și cosinus. Calculul și studiul seriilor Fourier sunt cunoscute sub denumirea de analiză armonică și sunt foarte utile atunci când se lucrează cu funcții periodice arbitrare, deoarece permite defalcarea funcției în termeni simpli care pot fi utilizați pentru a obține o soluție la problema inițială.
Ce este transformata Fourier?
Transformarea Fourier definește o relație între un semnal în domeniul timpului și reprezentarea acestuia în domeniul frecvenței. Transformarea Fourier descompune o funcție în funcții oscilatorii. Deoarece aceasta este o transformare, semnalul original poate fi obținut din cunoașterea transformării, astfel încât nicio informație nu este creată sau pierdută în proces. Studiul seriei Fourier oferă de fapt o motivație pentru transformarea Fourier. Datorită proprietăților sinusurilor și cosinusurilor, este posibil să se recupereze cantitatea din fiecare undă care contribuie la sumă folosind o integrală. Transformarea Fourier are unele proprietăți de bază, cum ar fi liniaritatea, translația, modulația, scalarea, conjugarea, dualitatea și convoluția. Transformarea Fourier este aplicată în rezolvarea ecuațiilor diferențiale, deoarece transformata Fourier este strâns legată de transformarea Laplace. Transformarea Fourier este, de asemenea, utilizată în rezonanța magnetică nucleară (RMN) și în alte tipuri de spectroscopie.
Diferența dintre seria Fourier și transformata Fourier
Seria Fourier este o extindere a semnalului periodic ca o combinație liniară de sinusuri și cosinusuri, în timp ce transformata Fourier este procesul sau funcția folosită pentru a converti semnalele din domeniul timpului în domeniul frecvenței. Seria Fourier este definită pentru semnalele periodice, iar transformata Fourier poate fi aplicată semnalelor aperiodice (care apar fără periodicitate). După cum am menționat mai sus, studiul seriei Fourier oferă de fapt o motivație pentru transformarea Fourier.
