Seria Power vs Seria Taylor
În matematică, o succesiune reală este o listă ordonată de numere reale. În mod formal, este o funcție de la mulțimea numerelor naturale în mulțimea numerelor reale. Dacă an este termenul n-lea al unei secvențe, notăm secvența cu sau cu 1, a 2, …, an, …. De exemplu, luați în considerare secvența 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Poate fi notat ca {1/n}.
Este posibil să se definească o serie folosind secvențe. O serie este suma termenilor unei secvențe. Prin urmare, pentru fiecare secvență, există o secvență asociată și invers. Dacă {an} este secvența luată în considerare, atunci seria formată din acea secvență poate fi reprezentată ca:
Astfel, în exemplul de mai sus, seria asociată este 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
După cum sugerează numele, seria de putere este un tip special de serie și este utilizată pe scară largă în analiza numerică și modelarea matematică aferentă. Seria Taylor este o serie de puteri speciale care oferă o modalitate alternativă și ușor de manipulat de a reprezenta funcții binecunoscute.
Ce este seria Power?
O serie de putere este o serie de forma
care este convergent (posibil) pentru un interval centrat pe c. Coeficienții anpot fi numere reale sau complexe și sunt independente de x; adică variabila inactivă.
De exemplu, setând an=1 pentru fiecare n și c=0, seria de putere 1+x+x2 +…..+ x+… se obține. Este ușor de observat că atunci când x ε (-1, 1), această serie de puteri converge către 1/(1-x).
O serie de puteri converge atunci când x=c. Celel alte valori ale lui x pentru care seria de puteri converge vor lua întotdeauna forma unui interval deschis centrat pe c. Adică va exista o valoare 0≤ R ≤ ∞ astfel încât pentru fiecare x care satisface |x-c|≤ R, seria de puteri este convergentă și pentru fiecare x care satisface |x-c|> R, seria de puteri este divergentă. Această valoare R se numește raza de convergență a seriei de puteri (R poate lua orice valoare reală sau infinit pozitiv).
Seria de putere poate fi adunată, scăzută, înmulțită și împărțită folosind următoarele reguli. Luați în considerare cele două serii de putere:
Apoi,
adică termenii asemănători se adună sau se scad împreună. De asemenea, este posibilă înmulțirea și împărțirea celor două serii de puteri folosind identitatea,
Ce este seria Taylor?
Seria Taylor este definită pentru o funcție f (x) care este infinit diferențiabilă pe un interval. Să presupunem că f (x) este diferențiabilă pe un interval centrat pe c. Apoi seria de puteri care este dată de
se numește extinderea seriei Taylor a funcției f (x) despre c. (Aici f(n) (c) indică n-a derivată la x=c). În analiza numerică, un număr finit de termeni din această expansiune infinită sunt utilizați în calcularea valorilor în punctele în care seria este convergentă cu funcția originală.
O funcție f (x) se spune a fi analitică în intervalul (a, b), dacă pentru fiecare x ε (a, b), seria Taylor a lui f (x) converge către funcția f (X). De exemplu, 1/(1-x) este analitic pe (-1, 1), deoarece expansiunea lui Taylor 1+x+x2+….+ x +… converge către funcția din acel interval, iar ex este analitică peste tot, deoarece seria Taylor a ex converge la e x pentru fiecare număr real x.
Care este diferența dintre seria Power și seria Taylor?
1. Seria Taylor este o clasă specială de serii de puteri definite numai pentru funcții care sunt infinit diferențiabile pe un interval deschis.
2. Seria Taylor ia forma specială
în timp ce, o serie de putere poate fi orice serie de forma
