Laplace vs Transformarea Fourier
Atât transformata Laplace, cât și transformata Fourier sunt transformări integrale, care sunt cel mai frecvent utilizate ca metode matematice pentru a rezolva sistemele fizice modelate matematic. Procesul este simplu. Un model matematic complex este convertit într-un model mai simplu, rezolvabil, folosind o transformare integrală. Odată ce modelul mai simplu este rezolvat, se aplică transformarea integrală inversă, care ar oferi soluția modelului original.
De exemplu, deoarece majoritatea sistemelor fizice au ca rezultat ecuații diferențiale, ele pot fi convertite în ecuații algebrice sau, la un grad mai mic, ecuații diferențiale ușor de rezolvat folosind o transformare integrală. Apoi rezolvarea problemei va deveni mai ușoară.
Ce este transformarea Laplace?
Dând o funcție f (t) a unei variabile reale t, transformarea ei Laplace este definită de integrala [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (ori de câte ori există), care este o funcție a unei variabile complexe s. Este de obicei notat cu L { f (t)}. Transformarea Laplace inversă a unei funcții F (s) este considerată funcția f (t) în așa fel încât L { f (t)}=F (s), iar în notația matematică obișnuită scriem, L-1{ F (s)}=f (t). Transformarea inversă poate fi făcută unică dacă nu sunt permise funcții nule. Se pot identifica pe acești doi ca operatori liniari definiți în spațiul funcțional și, de asemenea, este ușor de observat că, L -1{ L { f (t)}}=f (t), dacă funcțiile nule nu sunt permise.
Următorul tabel listează transformările Laplace ale unora dintre cele mai comune funcții.
Ce este transformata Fourier?
Dând o funcție f (t) a unei variabile reale t, transformarea ei Laplace este definită de integrala [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (ori de câte ori există) și este de obicei notat cu F { f (t)}. Transformarea inversă F -1{ F (α)} este dată de integrala [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Transformarea Fourier este, de asemenea, liniară și poate fi considerată ca un operator definit în spațiul funcțional.
Folosind transformata Fourier, funcția originală poate fi scrisă după cum urmează, cu condiția ca funcția să aibă doar un număr finit de discontinuități și să fie absolut integrabilă.
Care este diferența dintre transformatele Laplace și Fourier?
- Transformarea Fourier a unei funcții f (t) este definită ca [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], în timp ce transformata Laplace a acesteia este definită ca [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Transformarea Fourier este definită numai pentru funcțiile definite pentru toate numerele reale, în timp ce transformarea Laplace nu necesită ca funcția să fie definită pe setul numerelor reale negative.
- Transformarea Fourier este un caz special al transformării Laplace. Se poate observa că ambele coincid pentru numerele reale nenegative. (adică luați s în Laplace ca iα + β unde α și β sunt reale astfel încât e β=1/ √(2ᴫ))
- Orice funcție care are o transformată Fourier va avea o transformată Laplace, dar nu invers.
