Integrale definite vs nedefinite
Calculul este o ramură importantă a matematicii, iar diferențierea joacă un rol critic în calcul. Procesul invers al diferențierii este cunoscut sub numele de integrare, iar inversul este cunoscut sub numele de integrală sau, pur și simplu, inversul diferențierii dă o integrală. Pe baza rezultatelor pe care le produc, integralele sunt împărțite în două clase; integrale definite și nedefinite.
Mai multe despre integralele nedefinite
Integrala nedefinită este mai mult o formă generală de integrare și poate fi interpretată ca anti-derivată a funcției luate în considerare. Să presupunem că diferențierea lui F dă f, iar integrarea lui f dă integrala. Este adesea scrisă ca F(x)=∫ƒ(x)dx sau F=∫ƒ dx unde F și ƒ sunt funcții ale lui x, iar F este diferențiabilă. În forma de mai sus, se numește integrală Reimann și funcția rezultată însoțește o constantă arbitrară. O integrală nedefinită produce adesea o familie de funcții; prin urmare, integrala este nedefinită.
Integralele și procesul de integrare sunt în centrul rezolvării ecuațiilor diferențiale. Totuși, spre deosebire de diferențiere, integrarea nu urmează întotdeauna o rutină clară și standard; uneori, soluția nu poate fi exprimată explicit în termeni de funcție elementară. În acest caz, soluția analitică este adesea dată sub forma unei integrale nedefinite.
Mai multe despre Integrale definite
Integralele definite sunt contrapartidele mult valoroase ale integralelor nedefinite în care procesul de integrare produce de fapt un număr finit. Poate fi definită grafic ca aria mărginită de curba funcției ƒ într-un interval dat. Ori de câte ori integrarea este efectuată într-un interval dat al variabilei independente, integrarea produce o valoare definită care este adesea scrisă ca a∫bƒ(x) dx sau a∫b ƒdx.
Integralele nedefinite și integralele definite sunt interconectate prin prima teoremă fundamentală a calculului, ceea ce permite ca integrala definită să fie calculată folosind integralele nedefinite. Teorema spune a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) unde ambele F și ƒ sunt funcții ale lui x și F este diferențiabilă în intervalul (a, b). Luând în considerare intervalul, a și b sunt cunoscute ca limită inferioară și, respectiv, limită superioară.
În loc să ne oprim doar cu funcțiile reale, integrarea poate fi extinsă la funcții complexe, iar acele integrale se numesc integrale de contur, unde ƒ este o funcție a variabilei complexe.
Care este diferența dintre integralele definite și nedefinite?
Integralele nedefinite reprezintă anti-derivată a unei funcții și, adesea, o familie de funcții, mai degrabă decât o soluție definită. În integralele definite, integrarea dă un număr finit.
Integralele nedefinite asociază o variabilă arbitrară (de aici familia de funcții) și integralele definite nu au o constantă arbitrară, ci o limită superioară și o limită inferioară de integrare.
Integrala nedefinită oferă de obicei o soluție generală pentru ecuația diferențială.
