Populație vs abaterea standard eșantion
În statistică, mai mulți indici sunt utilizați pentru a descrie un set de date corespunzător tendinței sale centrale, dispersiei și asimetriei. Abaterea standard este una dintre cele mai comune măsurători de dispersie a datelor din centrul setului de date.
Din cauza dificultăților practice, nu va fi posibilă utilizarea datelor din întreaga populație atunci când se testează o ipoteză. Prin urmare, folosim valorile datelor din eșantioane pentru a face inferențe despre populație. Într-o astfel de situație, aceștia se numesc estimatori deoarece ei estimează valorile parametrilor populației.
Este extrem de important să folosiți estimatori imparțiali în inferență. Se spune că un estimator este imparțial dacă valoarea așteptată a acelui estimator este egală cu parametrul populației. De exemplu, folosim media eșantionului ca estimator imparțial pentru media populației. (Matematic, se poate demonstra că valoarea așteptată a mediei eșantionului este egală cu media populației). În cazul estimării abaterii standard a populației, abaterea standard a eșantionului este și ea un estimator imparțial.
Ce este deviația standard a populației?
Când datele din întreaga populație pot fi luate în considerare (de exemplu, în cazul unui recensământ), este posibil să se calculeze abaterea standard a populației. Pentru a calcula abaterea standard a populației, mai întâi se calculează abaterile valorilor datelor de la media populației. Media pătratică (media pătratică) a abaterilor se numește abaterea standard a populației.
Într-o clasă de 10 studenți, datele despre studenți pot fi culese cu ușurință. Dacă o ipoteză este testată pe această populație de studenți, atunci nu este nevoie de utilizarea valorilor eșantionului. De exemplu, greutățile celor 10 elevi (în kilograme) sunt măsurate a fi 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 și 79. Atunci greutatea medie a celor zece persoane (în kilograme) este (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, care este 71 (în kilograme). Aceasta este media populației.
Acum, pentru a calcula abaterea standard a populației, calculăm abaterile de la medie. Abaterile respective de la medie sunt (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 și (79 – 71)=8. Suma pătratelor abaterii este (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. Abaterea standard a populației este √(366/10)=6,05 (în kilograme). 71 este greutatea medie exactă a elevilor clasei și 6.05 este abaterea standard exactă a greutății de la 71.
Ce este deviația standard a eșantionului?
Când datele dintr-un eșantion (de mărimea n) sunt utilizate pentru a estima parametrii populației, se calculează abaterea standard a eșantionului. Mai întâi se calculează abaterile valorilor datelor de la media eșantionului. Deoarece media eșantionului este utilizată în locul mediei populației (care este necunoscută), luarea mediei pătratice nu este adecvată. Pentru a compensa utilizarea mediei eșantionului, suma pătratelor abaterilor este împărțită la (n-1) în loc de n. Abaterea standard a eșantionului este rădăcina pătrată a acesteia. În simbolurile matematice, S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, unde S este abaterea standard a eșantionului, ẍ este media eșantionului și xi sunt punctele de date.
Acum presupunem că, în exemplul anterior, populația este elevii întregii școli. Apoi, clasa va fi doar o mostră. Dacă acest eșantion este utilizat în estimare, abaterea standard a eșantionului va fi √(366/9)=6.38 (în kilograme), deoarece 366 a fost împărțit la 9 în loc de 10 (mărimea eșantionului). Faptul de observat este că aceasta nu este garantată a fi valoarea exactă a abaterii standard a populației. Este doar o estimare pentru aceasta.
Care este diferența dintre abaterea standard a populației și abaterea standard a eșantionului?
• Abaterea standard a populației este valoarea exactă a parametrului folosită pentru a măsura dispersia din centru, în timp ce abaterea standard a eșantionului este un estimator imparțial pentru aceasta.
• Abaterea standard a populației este calculată atunci când sunt cunoscute toate datele referitoare la fiecare individ al populației. În caz contrar, se calculează abaterea standard a eșantionului.
• Abaterea standard a populației este dată de σ=√{ ∑(xi-µ)2/ n} unde µ este media populației și n este dimensiunea populației, dar abaterea standard a eșantionului este dată de S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} unde ẍ este media eșantionului și n este dimensiunea eșantionului.
